Метод Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно

модель Шарпа называют рыночной моделью,

а норму отдачи rm - рыночной

нормой отдачи.

Пусть норма отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm²,…, rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2,…, riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = αi + βirm,t + εi,t (4)

где: ri,t - доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

αi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

βi - параметр линейной регрессии, называемый «бета»,

показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

εi,t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру βi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

(5)

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

(6)

Цели инвестора сводятся к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля при следующих начальных условиях

(7)

(8)

(9)

шарп дисперсия портфель ковариация

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri,t каждой ценной бумаги.

) По рыночному индексу вычислить рыночные доходности rm,t для того же промежутка времени.

) Определить величину дисперсии рыночного показателя σm, а также значения ковариаций σi,m доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи и найти величины βi:

(10)

4) Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги E(ri) и рыночной доходности E(rm) и вычислить параметр αi:

αi = E(ri) - βiE(rm) (11)

5) Вычислить дисперсии σ2ε,i ошибок регрессионной модели

) Подставить эти значения в соответствующие уравнения

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель. [1]